调和级数发散性的多种证明(7)

nan 0”. 则有limn

以下是这个命题的证明：

因正项级数 an收敛，则对于任意给定的 0，总存在自然数 ，

n 1

当n 时，下式成立

|an 1 an 2 a2n 1 a2n| an 1 an 2 a2n 1 a2n

2

.

由已知 an 1 an(n 1,2, 3,， )而 an 1 an 2 a2n 1 a 2n(n 1,2,3, )， 得 na2n

n

2

，2na2n ，

22n . 0故有 limna

又 a2n 1 an2，

2n 1

an2故有 (2n 1)a2n 1 (2n 1)an2 2n， 2n2n 1

an2 0. 得 0 lim(2n 1)a2n 1 lim2nn n 2n

故有 lim(2n 1)a2n 1 0.

n

所以无论n为奇数或偶数时，下式成立

limnan 0.

n

即通项下降趋于零的正项级数收敛的一个必要条件证毕。

运用该定理可得

1

limnan n 1 0 n n故调和级数

1

发散. nn 1

10证法十：利用不等式x ln(1 x).

sn 1

111

23n

11

ln(1 1) ln(1 ) ln(1 )

2n