调和级数发散性的多种证明(6)

对于部分和数列 sn ：

sn 1

111 ， 23n111n 11

， 有 1

23n1x

n 11

x ln(n 1) limln(n 1) ， 而 ，1n xsn ， 因此 lim

n

故调和级数

1

发散. n 1n

8证法八：证明由调和级数中分母末位含有0的项组成的子级数发散.

调和级数中分母末位含有0的项组成的子级数是

111111

102010011010001010n 1

111 1000010010100000

101

； 10010

un

在此级数中，分母从10到100的项共有10项，其和大于分母从110到1000的项共有90项，其和大于

909

； 1000100

9009

分母从1010到10000的项共有900项，其和大于； 10000100

分母从10 10到10

nn 1

的项共有9 10

n 1

9 10n 19

项，其和大于； n 1

10100

从而 显然

u

n 1

n

199

10100100

9

. 100

un发散，于是调和级数

n 1

1

发散. n 1n

an 0，9证法九：利用命题“设正项级数 an收敛，且an 1 an，lim

n

n 1