调和级数发散性的多种证明(4)

sn 1

111 ， 23n

事实上，存在 0

1

，对任意自然数 ，总能找到两个自然数m0 ，n0 2m0，2

当然也有2m0 ，使得

|s2m0 sm0|

111

m0 1m0 22m0

111

2m02m02m0

1

== 0. 2

1

据柯西收敛准则的否定叙述， sn 发散，从而 发散.

n 1n

4证法四：证明部分和数列 sn 的子列 s2 发散.

m

1111111111

m) s2m 1 ( ) ( ) (m 1 m 1

23456782 12 22 11111 1

4 m2 m 1 2

24821111 1 ( )

2222m

=1

2

m

s2m lim ). 于是 limm m 2s2m . 即 lim

m

故数列 sn 发散，从而调和级数

1

发散. n 1n

5证法五：利用欧拉常数证明.

证明数列 an 存在极限C（欧拉常数），这里

111

an 1 lnn，

23n

111

即1 lnn=C+ n,其中 n 0（当n 时）

23n

11

因为 ln(1 ) ，

nn