调和级数发散性的多种证明(8)

3n 1

ln2 ln ln

2n34nn ln(2 )

23n 1n 1

ln(1 n) (n ) .

1

即 ，故调和级数发散. n 1n

1

a1 a2 an

(a1 a2 a3 an)n. 11证法十一：利用平均值不等式

n

111a,3 ,an ， 23n

1111

111则 (1 )n，

n23n

取 a1 1,a2

111即

1 .

23n

11

当 n ，左边为

，右边为 ，故 发散.

nn 1nn 1n

12证法十二：利用不等式

首先证明上述不等式成立 因为

1113 (n 2,n )来证明. n 1nn 3n

1113 n 1nn 1n1111 ( ) ( ) n 1nnn 1

11

(n 1)n(n 1)n

2n

0，

(n 1)n(n 1)

1113 (n 2n, ). n 1nn 3n

1113

； 所以 1

234311131

；

56462

所以