2014届高三高考模拟专家卷数学(1)(4)

②

由①②得AP2 4APcos 12cos 9 0， 0， ，解得AP 3 4cos ； 0， （2）S S ABC S APC 1 2 3sin 1 2 APsin ,

0，由（1）得S 4sin cos 2sin2 ， ，所以当 时，Smax 2．

4

16．（本小题满分14分）已知PA 菱形ABCD所在平面，点E、F分别为线段BC、PA的中点． （1）求证：BD PC； （2）求证：BF∥平面PDE． 16．证明：（1）

PA 平面ABCD，BD 平面ABCD，

PA BD，

又

ABCD是菱形， AC BD，

又PA,AC 平面PAC，PAAC A，

BD 平面PAC，

又PC 平面PAC， BD PC．

（2）取线段PD的中点G，连结EG,FG， 则FG∥AD，且FG

11

AD，又BE∥AD，且BE AD， 22

FG∥BE，FG BE， 四边形BEGF是平行四边形， BF∥EG，

又BF 平面PDE，EG 平面PDE，

BF∥平面PDE．

17．（ 本小题满分14分） 某商场分别投入x万元，经销甲、乙两种商品，可分别获得利润

y2=cx，其中m,a,b,c都为常数．如y1、y2万元，利润曲线分别为C1：y1=m ax b，C2：

图所示：

（1）分别求函数y1、y2的解析式；高 考 资 源 网

（2）若该商场一共投资12万元经销甲、乙两种商品，求该商场所获利润的最小值．

（可能要用的数ln2 0.7）

17．解（1）由函数y1=m ax b过点(0,0),(2,

525

),(4,)可得 1616

m b 0 a 2

5x555 2

y 2 ， 可得，m a b b 1

48481648

255 4

m a b m 1648

777

x 由函数y2=cx过点(3,)可得c ， y2=

12412

（2）设该商场经销甲商品投入x万元，乙商品投入12 x万元，该商场所获利润为y万元 则y y1 y2 y

5x5757331

2 (12 x) 2x x

484812481248

5x757777

2ln2 2x 2x 48124810129612

令y 0可得x 3，（11分）y 在(0,3)单调递增，

当x (0,3),y 0,y在(0,3)单调递减，当x (3, )，y 0,y在(3, )单调递增，

当x 3时，利润y有最小值

287

． 48287

． 48

2

2

答：该商场所获利润的最小值

18．（本小题满分16分）已知圆C1:(x 1) y 1和圆C2:(x 4)2 y2 4．

（1）过圆心C1作倾斜角为 的直线l交圆C2于A,B两点，且A为C1B的中点，求sin ； （2）过点P(m,1)引圆C2的两条割线l1和l2，直线l1和l2被圆C2截得的弦的中点分别为

M,N.试问过点P,M,N,C2的圆是否过定点（异于点C2）？若过定点，求出该定点；若

不过定点，说明理由；

（3）过圆C2上任一点Q(x0,y0)作圆C1的两条切线，设两切线分别与y轴交于点S和T，求线段ST长度的取值范围．

18．解：（1）设直线l的方程为y k(x 1)，则圆心C2到直线l

的距离d 设AB的中点为R

，则AR

12AB 13C1R 则d2

118，所以在Rt

CCRd1RC2中，sin 2C ． 1C2520

（2）依题意，过点P,M,N,C2的圆即为以PC2为直径的圆，

所以(x 4)(x m) (y 1)(y 0) 0，即x2 (m 4)x 4m y2 y 0 整理成关于实数m的等式(4 x)m x2 4x y2 y 0恒成立

则 4 x 0 x 4 x 4

x2 4x y2

y 0，所以 y 0或 y 1 即存在定点(4,1).

（3）设过Q(x0,y0)的直线与圆C1切线，

则d

1，(k kx20 y0) 1 k2，

整理成关于k的方程(x20 2x20)k (2y0 2x0y0)k y20 1 0， （☆） 判别式 (2y20 2x0y0) 4(y20 1)(x20 2x0) 4x20 4y20 8x0，

所以k

00直线y y0 k(x x0)与y轴的交点为(0,y0 kx0)，

不妨设S(0,y0 k1x0)，T(0,y0 k2x0)，则ST |k2 k1|x0． 而k1,k2是（☆）方程的两根，

即