2014届高三高考模拟专家卷数学(1)(5)

则ST |k2 k1|x0

(x0 4)2 y02 4，

0 所以ST ．

000 t(t

，则ST 5t 2

16 tt t

考察关于t

的函数f(t) t

16t

(t [2,，函数f(t)在区间 2.4 是单调递减，在区

间 4,上单调递增，所以(f(t))max 10，(f(t))min 8．

所以ST ． 4

19．（本小题满分16分）数列 an 满足

a1 0,a2 2,an 2 (1 cos2

（1）求a3,a4,a5,a6； （2）设Sk a1 a3 （3）设Wk

n n

)an 4sin2,n 1,2,3, , 22

a2k 1，Tk a2 a4 a2k，分别求Sk,Tk关于k的表达式；

2Sk

，求使Wk 1的所有k的值，并说明理由． 2 Tk

2

19．解：（1）∵a1 0,a2 2，∴a3 (1 cos

2

)a1 4sin2

2

4，

2 2 3 3

)a2 4sin2 4，a5 (1 cos2)a3 4sin2 8， 22224 4

a6 (1 cos2)a4 4sin2 8．

22a4 (1 cos2

（2）当n 2k 1(k N)时，

*

a2k 1 (1 cos2

2k 12k 1

)a2k 1 4sin2 a2k 1 4， 22

∴ a2k 1 是以0为首项，4为公差的等差数列，则a2k 1 4(k 1)， 当n 2k(k N)时，

*

a2k 2 (1 cos2

2k2k

)a2k 4sin2 2a2k， 22

∴ a2k 是以2为首项，2为公比的等比数列，则a2k 2k，

2(n 1),n 2k 1(k N*)

∴ an 的通项公式为an n．

*2 2,n 2k(k N)

Sk a1 a3 a2k 1 0 4 4(k 1) 2k(k 1)，

Tk a2 a4 a2k 2 22 2k 2k 1 2，

（3）Wk

2Sk4k(k 1)k(k 1)，

2 Tk2k 12k 1

33515

,W4 ,W5 ,W6 ． 22416

于是W1 0,W2 1,W3

下面证明：当k 6时，Wk 1． 事实上，当k 6时，Wk 1 Wk

(k 1)kk(k 1)k(3 k)

0，即Wk 1 Wk， kk 1k

222

又W6 1，∴当k 6时，Wk 1． 故满足Wk 1的k的值为3,4,5．

20．（本题满分16分）已知函数f(x) ax |x a|（a R）．

（1）是否存在实数a，使得函数f(x)在( ,0]上单调递减，在[0, )上单调递增？请说

明理由；

（2）若0 a 1，求函数f(x)在[ 1,1]上的最大值；

（3）求证：对任意的实数a，存在x0，恒有f(x0) 0，并求出符合该特征的x0的取值范围．

3

ax3 x a

20．解：（1）当a 0时，f(x) 3

ax x a

3

(x a)(x a)

，

3

令g(x) ax x a（x a），h(x) ax x a（x a），

g (x) 3ax2 1，h (x) 3ax2 1，

无论a 0还是a 0均不符合要求；

ax3 x a （2）若0 a 1，f(x) 3

ax x a

(x a)(x a)

，