2014届高三高考模拟专家卷数学(1)(7)

x 0 x则 x3 1 0，得x 1； a 3 0 x 1

③当a 0时，方程f(x) ax3 |x a| 0没有0根和负根， 当a 0，x 0时，f(x) ax3 x a， 由方程f(x) ax3 x a 0得a

x

， x3 1

x 0 x则 x3 1 0，得x 1； a 3 0 x 1

综上可知，对任意的实数a，存在x0 [ 1,0) (0,1]，恒有f(x0) 0．

数学附加题

21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．．．题纸指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． ．．．．．．．

A．选修4—1：几何证明选讲

如图，PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引 割线交⊙O于B、C两点．求证: DPB DCP． A．证明：因为PA与圆相切于A， 所以DA2 DB DC， 因为D为PA中点，所以DP=DA，

所以DP2=DB·DC，即PD DB ．

DCPD

因为 BDP PDC， 所以 BDP∽ PDC， 所以 DPB DCP． B．选修4—2：矩阵与变换

1 0 4 3

B 已知 4 1 , 求矩阵B. 1 2

b a b 1 0 a

,B B．解：设B 则 1 2 a 2c b 2d ， c d

a 4, a 4,

b 3, b 3,

4 3

解得 故B 故 4 2 . a 2c 4,c 4,

b 2d 1, d 2.

P

C．选修4—4：坐标系与参数方程

已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点，极轴与x轴的正半轴重合．曲线C的极坐标方 x ,

程为 2cos2 3 2sin2 3，直线l的参数方程为 (

t为参数，t∈R

)．试在曲线C

y 1 t

上求一点M，使它到直线l的距离最大．

x2

C．解：曲线C的普通方程是 y2

1．

3

直线l的普通方程是x

0．

设点M的直角坐标是 ,sin )，则点M到直线l

的距离是

． d

因为 )，所以

4

πππ3π

当sin( )

1，即

2kπ

(k Z)，即 2kπ (k Z)时，d

取得最大值．

4424

． 综上，点M的极坐标为7π

时，该点到直线l的距离)或点M的直角坐标为(6

最大．

D．选修4—5：不等式选讲 设函数f(x)

（1）当a 5时，求函数f(x)的定义域；

（2）若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围． D．解：（1）由题设知：x x 2 5 0， 如图，在同一坐标系中作出函数y x 1 x 2 和y 5的图象（如图所示）,知定义域为 , 2

3, .

（2）由题设知，当x R时，恒有x 1 x 2 a 0，

即x x 2 a 由（1

）x 1 x 2

3，∴ a

3, a.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内作答．解答应．．．．．．．．．．写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．求证：对于任意的正整数n，(2ns N .

22．解：由二项式定理可知，

(2 C2

n

0n

n

C2

1n

n 1

C2

1

2n

n 2

2

C2

nn

,

n

设(2n x

而若有(2na,b N ，

则(2na,b N ，

∵ (2n (2n 1， ∴令a s,s N ，则必有b s 1．

∴(2

ns N ． 注：本题也可用数学归纳法证明，证明正确的也给相应的分数．

23．已知抛物线C:y2 2px(p 0)的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，设以F为圆心，FA为半径的圆F交准线l于M,N两点．

（1）若 MFN 90 ，且 AMN的面积为42，求p的值；

（2）若A,F,M三点共线于直线m，设直线m与抛物线C的另一个交点为B，记A和B两点间的距离为f(p)，求f(p)关于p的表达式．

23．解：（1）由对称性可知， MFN为等腰直角三角形，则斜边MN 2p， 且点A到准线l

的距离d FA FM ．

S AMN

11

MN d 2p p 2． 22

y02 p

（2） 由对称性可设A(,y0)(y0 0)，F ,0 ．

2p 2

y02

, y0 ， 由点A，M关于点F对称，得M p 2p

y02p 3p

所以p

，解得y0

，即A ．

2p2 2

y2 2px

p 直线m

的方程为y x ，与抛物线方程联列 p

2

y x 2

得y2

py p2

0，解得y1

，y2 p．

所以B

p ,p ． 6