2014-2015学年重庆市南开中学高三(上)一诊模拟数学(19)

（Ⅱ）设直线AB的方程与抛物线联立，消元，利用韦达定理，结合从而可求λ1、λ2的值，即可得证； （Ⅲ）设P，Q的坐标，利用Q在椭圆上，即可证得结论．

解答： （Ⅰ）解：由C1：y=2px（p＞0）的焦点F

（，0）在圆O：x+y=1上， 得：

，解得p=2，

2

2

2

2

，

，确定S的坐标，利用及P，

∴抛物线C1：y=4x； 由椭圆C2：x+y=1上，

22

可得：a=1，c=1， ∴a=c=1， 则b=

=

，

2

2

的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣a，0），（a，0）均在圆O：

∴椭圆C2：

；

（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则N（0，﹣k），

2222

直线与抛物线联立，消元可得kx﹣（2k+4）x+k=0， ∴x1+x2=∵

，x1x2=1，

，

∴λ1（1﹣x1）=x1，λ2（1﹣x2）=x2， ∴

，

，

∴λ1+λ2=

=﹣1为定值；

（Ⅲ）证明：设P（x3，y3），Q（x4，y4），则P′（x3，0），Q′（x4，0）， ∵

，

∴S（x3+x4，y3+y4）， ∵

∴2x3x4+y3y4=﹣1 ①， ∵P，Q在椭圆上，

，