第二章 赋范线性空间-黎永锦

第2章 赋范线性空间

虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,

从而认识现象的真实原因,但仍可能 发生这样的情形：一定的虚构假设

足以解释许多现象.

L.Eurler (欧拉) (1707-1783,瑞士数学家)

E.Schmi在dt1908 年讨论由复数列组成的空间{(zi):

1

2

|z

i 1

i

|2 } 时引入记号

||z||来表示( zizi),||z||后来就称为z的范数.赋范空间的公理出现在F.Riesz在 1918

i 1

年关于C[a,b]上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 （1892—1945）、、S.BanachH.Hahn（1879—1934）E.Hylel

（1884—1943）和 N.Wiener

（1894—1964）给出的,其中以S.Banach的工作最具影响.

2.1赋范空间的基本概念

线性空间是Giuseppe在1888年出版的书Geometrical Calculus中引进Peano的.S.Banach在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为

Banach空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数,

第三组给出了空间的完备性.

定义2.1.1 设K是实数域R或复数域C,X是数域K上的线性空间,若|| ||是X到R 的映射,且满足下列条件：

(1) ||x|| 0且||x|| 0 当且仅当x 0; (2) || x|| | |||x||,对任意x X和任意 K ;