第二章 赋范线性空间-黎永锦(21)

令yn 取zn 由于

xn

,则||yn|| 1,且|f(yn)| n. ||xn||

yny1y

,z0 1, f(yn)f(y1)f(y1)

||zn z0|| ||

yn||yn||1

|| 0 f(yn)|f(yn)|n

因而zn z0,且f(zn) f(

yny

1) 0,即zn N(f),从而由N(f)是闭集可f(yn)f(y1)

知z0 N(f),但这与f(z0) 1矛盾,因此当N(f)是闭子空间时,f一定是连续的. 从上面的讨论容易看出,X上的全体连续线性泛函是一个线性空间,在这个线性空间上还可以定义其范数.

定义2.4.3 设f为X上的线性连续泛函,则称

||f|| sup

x 0

|f(x)|

||x||

为f的范数.

明显地,若记X上的全体线性连续泛函为X,则在范数||f||下是一赋范空间,称之为

X的共轭空间.

虽然H.Hahn在1927年就引起了共轭空间的概念,但S.Banach在1929年的工作更为完全些.

容易看出,对于任意f X,还有||f|| sup|f(x)| sup|f(x)|.

||x|| 1

||x|| 1

但对于具体的赋范空间X,要求出X上的连续线性泛函的范数,有时是比较困难.

例2.4.8 设f为l1的连续线性泛函,若取{ei}为l1上的Schauder基,则对任意x (xi),有x

xe, 故f(x) x

iii 1

i 1

i

f(ei),因而

|f(x)| |

xf(e)| |x||f(e)| sup|f(e)|( |x|)

i

i

i

i

i

i

i 1

i 1

i 1

从而||f|| sup|f(ei)|. 取ei (0, 0,1,0, 0) l1, 则||ei|| 1, 且