第二章 赋范线性空间-黎永锦(8)

明显地,若M是线性空间X的线性子空间,记x {y|y~x(M),y M}, 则x的全体在加法x y x y和数乘 x x下是线性空间,称为X对模M的商空间,记为X/M.

在商空间X/M中,对0 X,0 M, 即0是X/M的零元,而对X/M的每一元素

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x,x都是唯一确定的,并且对于加法和数乘都是唯一确定的.

例2.1.10 对于l {(xi)|sup|xi| },取M {(xi)|x1 0,sup|xi| }, 则M为l 的子空间,对x,y l /M,当x y时有x y M,即x1 y1 0, 这时l /M~R

当(X,|| ||)为赋范线性空间,M为X的闭线性子空间时,在X/M商空间中还可以定义范数,使X/M成为赋范线性空间.

定理2.1.14 设(X,|| ||)是赋范线性空间,M为X的闭线性子空间,在X/M上定义范数||x|| inf{||y|||y x},则(X/M,|| ||)是赋范线性空间.

利用上面的技巧,不难证明,当p(x)为X上的一个半范数时,取

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M {x|p(x) 0},||x|| inf{||y|||y x},

则(X/M,|| ||)是一个赋范线性空间,且对任意x X有, ||x|| p(x).

当X是空备赋范线性空间,M为X的闭子空间的,X/M还具有完备性.

定理2.1.15 设X是Banach空间,M为X的闭子空间,则X/M是Banach空间.

2.2 范数的等价性与有限维赋范空间

在同一线性空间上,可以定义几种不同的范数,使之成为不同的赋泛线性空间,但有时X上的几种不同范数诱导出的拓扑空间是一样的,有时却很不相同,这主要是X上的序列依范数收敛的不同引起的.

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