第二章 赋范线性空间-黎永锦(13)

T( ) iei

i 1

n

则存在C1 0,C2 0,使得

C1( | i|) ||T( i)|| C2( | i|)

2

2

i 1

i 1

n

12

n

12

从而T是Kn到X的连续算子,且是一一对应的. 由C1(

|

i 1

n

i

|) ||T( )||可知T 1是X到Kn的连续算子, 因此T是Kn到X的

1

2

12

拓扑同构.所以M的紧集当且仅当 T是有界闭集.

(M)为Kn的紧集,从而M是X的紧集当且仅当M

问题2.2.1 若赋范线性空间(X,|| ||)的每个有界闭集都是紧集,则X是否一定为有限维的赋范线性空间？

为了回答上面的问题,先来讨论Riesz引理,这是F.Riesz在1918年得到的一个很漂亮的结果.

引理2.2.8 （Riesz引理）设M是赋范线性空间(X,|| ||)的闭真子空间,则对任意

0 1,

存在x X,x 1,使得

x x

对任意x M成立.

证明 由于M是X的闭真子空间,因此X\M ,故存在y0 X\M,令

d d(y0,M) inf{||y0 x|||x M},

则d 0.

对任意0 1,由d的定义可知,存在x0 M,使得

d ||y0 x0||

令x

d

y0 x0

,则||x || 1,且对任意x M,有

||y0 x0||