第二章 赋范线性空间-黎永锦(12)

n 1

n

(0)i

ei 0

由{ei}是X的Hamel基可知, i

(0)

0,从而 0 0,但这与 0 S矛盾.

定理 2.2.5 设X是有限维线性空间,|| ||1与|| ||2是X上的两个范数,则存在常数

C1 0, C2 0使得

C1||x||1 ||x||2 C2||x||1

定理 2.2.6 有限维的赋范线性空间一定是Banach空间.

证明 若{xm}为n维赋范线性空间(X,|| ||)的Cauchy列,则对于X的Hamel基

e1,e2, ,en有xm i

i 1

n

(m)

ei,由

n

12

n

12

C1( | i|) ||x|| C2( | i|)

2

2

i 1

i 1

可知{ i

(m)

}亦为Cauchy列,故存在 i R,使得 i

(m)

i,因而有 ( i),使得

( | i

i 1

n

(m)

i|) 0

2

12

令x

i 1

n

i

ei,则||xm x|| 0,因此{xm}是收敛序列,所以X是完备的.

在R中,M是列紧的当且仅当M是有界闭集,在有限维赋范空间中是否成立呢？下面就来讨论有限维赋范线性空间(X,|| ||) 中紧集与有界闭集的关系.

定理2.2.7 设(X,|| ||)是有限维的赋范线性空间,则M X是紧的当且仅当M是有界闭集.

证明 设e1,e2, ,en为(X,|| ||)的Hamel基,则对任意x X,有x 定义K到X的算子T:

n

n

i 1

n

i

ei