第二章 赋范线性空间-黎永锦(5)

思考题2.1.1 设(X,|| ||)是赋范线性空间,问开球U(x0,r)的闭包是否一定是闭

B(x0,r)?

思考题2.1.2 设(X,|| ||)是线性空间,问闭球B(x0,r)内部是否一定是开球U(x0,r)?

在赋范线性空间中,加法与范数都是连续的.

定理2.1.8 若(X,|| ||)是赋范空间xn x0,yn y0,则xn yn x0 y0. 证明 由||(xn yn) (x0 y0)|| ||xn x0|| ||yn y0||可知定理成立. 定理 2.1.9 若(X,|| ||)是赋范空间,xn x0,则||xn|| ||x0||. 证明 由||xn|| ||xn x0|| ||x0||和||x0|| ||xn x0|| ||xn||,可知

|||xn|| ||x0||| ||xn x0||,因此||xn|| ||x0||.

定义2.1.3 设(X,|| ||)是赋范线性空间,若{xn} X,||xm xn|| 0(m,n )时, 必有x X,使||xn x|| 0, 则称(X,|| ||)为完备的赋范线性空间.

根据M.Frechet[Espacesabstraits,Gauthier Villars,Paris,1928]的建议,完备的赋范线性空间称为Banach空间.

不难证明,R,co,lp(1 p ),l 都是Banach空间.

在数学分析中,曾讨论过数项级数,函数项级数,类似地,在赋范线性空间中,也可定义无穷级数.

定义2.1.4 设(X,|| ||)是赋范线性空间,若序列{Sn} {x1 x2 xn}收敛于某个x X时,则称级数

n

x

n 1

n

收敛,记为x

x

n 1

n

.

定义2.1.5 设(X,|| ||)是赋范线性空间,若数列{||x1|| ||x2|| ||xn||}收敛时, 则称级数

x

n 1

n

绝对收敛.