第二章 赋范线性空间-黎永锦(14)

||x x || ||x

y0 x01

|| ||y0 (x0 ||y0 x0||x)||

||y0 x0||||y0 x0||

由x0 M,x M和M是线性子空间,可知

x0 ||y0 x0||x M

因此

||y0 (x0 ||y0 x0||x)|| d

故

||x x ||

dd

||y0 x0||d

由Riesz引理,容易得到有限维赋范线性空间特征的刻画.

定理2.2.9 赋范线性空间(X,|| ||)是有限维的当且仅当X的闭单位球

BX {x|||x|| 1}是紧的.

证明 明显地,只须证明BX是紧的时候,X一定是有限维的.

反证法,假设BX是紧的,但X不是有限维赋范线性空间,对于任意固定的x1 X,

||x1|| 1,令M1 span{x1} { x1| K},则M1是一维闭真子空间,取

可知,存在x2 X,||x2|| 1且||x2 x||

1

,由Riesz引理2

11对任意x M1成立,从而||x2 x1|| . 22

同样地,令M2 span{x1,x2},则M2是二维闭真空子空间,因而存在x3 X,||x3|| 1,使||x3 x||

111

对任意x M2成立,从而||x3 x1|| 且||x3 x2|| . 222

利用归纳法,可得一个序列{xn} BX,对任意m n,有

||xm xn||

1

2

因而{xn}不存在任何收敛子序列,但这与BX是紧集矛盾,由反证法原理可知X是有限维赋范线性空间.

推论2.2.10 赋范线性空间X是有限维当且仅当X的每个有界闭集是紧的.