第二章 赋范线性空间-黎永锦(19)

事实上令ei (0, 0,1,0, 0),则任意x R,有x

n

xe,设

iii 1

n

xm R,xm 0,则xm xi

n

n

(m)

ei,且xi

n

(m)

0对任意i都成立.

i 1

因此f(xm) f(

xiei) xi

(m)

i 1

i 1

n

(m)

f(ei) 0 f(0),所以f在0点连续,从而f在

Rn上任意点都连续.

定义2.4.2 若X上的线性泛函把X的任意有界集都映为K的有界集,则称f为有界线性泛函,否则f为无界线性泛函.

定理2.4.4 设f为赋范线性空间(X,|| ||)上的线性泛函,则f是有界的当且仅当存在

M 0,使|f(x)| M||x||.

证明 若存在M 0,使得对任意x X,|f(x)| M||x||,则对于X中的任意有界集

F,有r 0,使得对任意x F,有||x|| r,因此,|f(x)| M||x|| Mr对所有x F成立,

所以f(F)为K的有界集,即f为有界线性泛函.

反之,若f为有界线性泛函,则f把X的单位球面S(X) {x|||x|| 1}映为K的有界集,因此存在M 0,使得对一切||x|| 1,有

|f(x)| M

故对任意x X,有

|f(

所以

x

)| M ||x||

|f(x)| M||x||

例2.4.5 对c {(xi)|(xi)为收敛序列},范数||x|| sup|xi|,若定义f为f(x) limxi,

i

则f为c上的线性泛函,由于||x|| sup|xi|,因此