实变函数论课后答案第五章1(10)

实变函数论课后答案

E[x|||x|| r]

|(f(x) fN(x))|dx |(f(x) fN(x))|dx

E

3

2

|FN(r) FN(r0)| IN

3

，

3IN |FN(r0) F(r0)| |

E[x|||x|| r0]

(f(x) fN(x))dx| (f(x) fN(x))dx

E

3

则|F(r) F(r0)|

从而F(x)在(0, )上连续得证.

10．证明：若非负可测函数f(x)在E上的积分 f(x)dx ，则对任意

E

c，0 c f(x)dx 都有E的可测集E1，使 f(x)dx c

E

E1

证明：由第9题知，在本题条件下F(r) 续函数

E[x|||x|| r]

f(x)dx是(0, )上的连

若c 0，则任取一单点x0 E，E1 x0 ，则

x0

f(x)dx f(x0)m x0 0，即 f(x)dx 0

E1

若c f(x)dx，则取E1 E，则 f(x)dx c

E

E1

若0 c f(x)dx

E

注意到 r 0， B(0,r) x,||r|| r （B(0,r)的边界） 满足 B(0,r) (B(0,r )\B(0,r))

m 1

1

m

m( B(0,r)) m( (B(0,r

m 1

1

)\B(0,r))) m

1m

1m

limm(B(0,r )\B(0,r)) limwn((r )n rn) 0 n n

00

若Em E[x|||x|| m]，Em E[x|||x|| m]，则m(Em\Em) m( B(0,m)) 0

limF(m) lim而f(x)非负可测，故m

m

Em1

f(x)dx lim

m

Em1

f(x)dx f(x)dx

E