实变函数论课后答案第五章1(12)

实变函数论课后答案

12. 设mE ，f(x) 0且在E上可测，证明：对任意 0，都有d 0，使只要E1 E，mE1 ，便有 fdx d

E1

证明：反证，设 0 0, k, Ek E,mEk 0，但 fdx

Ek

1

k

令Fn E[x|

11

f(x) ] n 1,2, ；F E[x|f(x) 1]则Fn，F都n 1n

是可测集，且从f(x) 0知E E[x|f(x) 0] Fn F

n 1

mE mFn mF （Fn，F互不相交）

n 1

所以 n0使mE ( mFn mF)

n 1

n0

n n0 1

mFn

0

2

n0

mE m( Fn F)

n 1

n0

0

2

，m(E\ Fn F)

n 1

n0

0

2

n0

0 mEk m(Ek ( Fn F)) m(Ek (E\ Fn F)) m(Ek ( Fn F))

n 1

n 1

n 1

n0

0

2

故m(Ek ( Fn F))

n 1

n0

0

2

1

n0 1

在Ek Fn F上，f(x)

n 1

n0

所以

1

f(x)dx kE

k

Ek (

Fn F)

n 1

n0

1

f(x)dx

n0 1

Ek (

Fn F)

n 1

n0

n0

11 0

dx m(Ek ( Fn F))

n0 1n0 12n 1

k ，得0

1 0

0得矛盾，故结论不成立

n0 12

E1

mE 0时， E1 E， f(x)dx 0，结论不会成立

13．设mE ，f(x)是E上的有界非负可测函数，证明有[0,mE]上的非负单调不增函数g(y)使对任意常数a都有