实变函数论课后答案第五章1(15)

实变函数论课后答案

证明：令sn(x) fn(x) fn(x),(n n0) ，则sn(x)非负可测，且sn 1(x) sn(x)，

limsn(x) fn0(x) f(x)，对sn(x)用Levi定理得lim sn(x)dx limsn(x)dx ，

n

n

EE

n

即

f

E

n0

(x)dx lim fn(x)dx (fn0(x) f(x))dx fn0(x)dx f(x)dx，

n

E

E

E

E

n

E

E

0 fn0(x)dx ,lim fn(x)dx f(x)dx成立.

E

反例：令E Rn可测，mE ，fn(x)

f1(x) fn(x) fn 1(x)

1

于E上，则n

fn(x) 0 f(x)于E 上，且 fn(x)dx mE ， 于E上，limn

E

1n

f(x)dx 0 lim fn(x)dx

E

n

E

15.设f(x)是可测集E上的非负可测函数，如果对任意 m N，都有

m

[f(x)]dx f(x)dx E

E

则f(x)几乎处处等于一可测集合的示性函数.

证明：令E0 E，[x|f(x )0]E1 E[x|f(x) 1]，E E[x|f(x) 1]，

E[x|0 f(x) 1]，则 E E E E E E01

由于f(x)非负可测，故[f(x)]m（ m N）也非负可测，故由Fatou引理知

mE

E

f(x)]

m

m

dx f(x)]mdx [f(x)]mdx f(x)dx

Em

m

E

E

故mE 0，从而有

[f(x)]mdx [f(x)]mdx f(x)dx f(x)dx

E1

E

E1

E

而在E1上f(x) 1，故 f(x)dx [f(x)]mdx f(x)dx f(x)dx

E1

E

E1

E

由f 0，且 f(x)dx 知 f(x)dx ，故 [f(x)]mdx f(x)dx，

E

E1

E

E