实变函数论课后答案第五章1(11)

实变函数论课后答案

则m充分大时，F(m) c 另一方面，limF(r) 0

r 0

（当0 f M有界时，0 F(r)

Em1

f(x)dx Mm(Er) Mm(B(0,r)) 0）

一般， 0， N( )，使| fNdx fdx| ，fN min(f,N)，又

EE

3

FN( )(r) 0，当r 0 时， (N( ), )

当0 r 时，|FN( )(r)|

3

当0 r 时

0 F(r) |F(r) FN( )(r)| |FN( )(r)| |f fN( )|dx |FN( )(r)|

E

3

3

2

3

故limF(r) 0

r 0

由连续函数的中介值定理知，存在r0 0使c0 F(r0) 令

E1 E[x|||x|| r0]，则E1 E， fdx c，证毕.

E1

E[x|||x|| r0]

f(x)dx，

11．设mE ，E1,E2, ,Em是E的m个可测子集，正整数k m，证明：若E中每一点至少属于k个Ei，则有i，使mEi 证明：反证，设 i(i 1,2, ,m)有mEi

m

i

k

mE m

k

mE，则由于 x E，x至少属m

于k个Ei，故 E(x) k （ x E），而Ei E，故

i 1

m(Ei E) E(x)dx k dx kmE

i 1

Ei 1

i

mm

E

kmE m(Ei E) mEi

i 1

i 1

i 1

mmm

k

mE kmE得矛盾 m

所以 i使mEi

k

mE.（徐森林书P242） m