实变函数论课后答案第五章1(13)

实变函数论课后答案

mE[x|f(x) a] mE[y|0 y mE,g(y) a]，进而证明

f(x)dx

E

g(y)dy

[0,mE]

证明： s R1，令 f(s) mx[|f(x)|]s 且f*(t) inf s 0| f(s) t ，显然

f*(t)是[0, )上的非负单调不增函数，因为 t1 t2，

s 0|

注（1）

f

(s) t2 s 0| f(s) t ，从而f*(t2) f*(t1)

意

s | f ( fs )

，(从)而

f*( f

(s )s)

又由Levi定理知 f(s)是右连续的

sn s,sn s,s1 s2 sn sn 1 ，则 x||f(x)| sn x||f(x)| sn 1

n

lim f(sn) limm[x||f(x)| sn] lim [x||f(x)| sn](y)dy

n

n

R1

R1

lim

n

[x||f(x)| sn]

(y)dy

[x||f(x)| s](y)dy m[x||f(x)| s] f(s)

R1

t, sn 0, f(sn) t

n

，sn f*(t)，故从 f(s)右连续知

f(f*(t)) lim f(sn) t 即

f(f*(t)) t

（2）

令 f(s) m[t|f*(t) s]，则从f*非增，知

*

f(s) sup t 0|f*(t) s

*

（3）

事实上 0 t f(s)，则 t ,t t f(s),f*(t ) s,f*(t) s，则

*

*

[0,t] [0, f*(s)] t 0;f*(t) s [0, f*(s)]，故 t 0|f*(t) s [0, f*(s)]

故sup t 0|f*(t) s f(s)

*

从（1）f*( f(s)) s知 f(s) f(s)，从（3）若t f(s)，则：f*(t) s

*

*