实变函数论课后答案第五章1(5)

实变函数论课后答案

2

k 0

Ek

f(x)dx 2

E[x|f(x) 1]

f(x)dx 2 f(x)dx

E

（mE ,mE[x|f(x) 1] ）

证毕.注意以上用到正项二重级数的二重求和的可交换性，这可看成是Fubini定理的应用，也可看成是Lebsgue基本定理的应用，或Levi定理的应用.

m 0n 0

k

a

0

nm

anm

n 0m 0k

k

m 0n 0

a

nm

lim anm lim anmd (m) lim

m 0

k

n 0k

k

n 0

k 0

a

n 0

nm

d (m)

lim 0anmd (m) 0anmd (m) anm

k

n 0

n 0

n 0m 0

是R1上的一个测度（离散的）

m N, [[m]] 1, (A) #[A N]，N为自然数集，anm看成

anx

an(x) {

k

当x N

当x N

，也可这样设 anm a, anm b，则 k,p N

n 1m 1

m 1n 1

p

k

p

k

a

n 1m 1

p

nm

anm anm b，令p ， anm b，令

m 1n 1

m 1n 1

n 1m 1

b a，同理，则a b，k ,a anm b， anm anm

n 0m 0

n 0m 0

m 0n 0

n(x) {

f(x)可测

ai,[i 1,i),1 i n

n(x)为简单函数，f(x) nlim，则 0 x n

6.如果f(x),g(x)都是E上的非负可测函数，并且对于任意常数a都有 mE[x|f(x) a] mE[x|g(x) a] 则 f(x)dx g(x)dx

E

E