实变函数论课后答案第五章1(4)

实变函数论课后答案

E[x|f(x) 1] En,Ei Ej 当i j，f非负，故从mE 知

n 0

0

E[x|f(x) 1]

f(x)dx ，而 f(x)dx

E

E[x|0 f(x) 1]

f(x)dx

E[x|f(x) 1]

f(x)dx

f(x)dx

E

E[x|f(x) 1]

f(x)dx

注意由单调收敛定理和f(x) 0可测知

E[x|f(x) 1]

f(x)dx

n 0

En

f(x)dx

lim

Ein

i 0

n

f(x)dx

E

(x)f(x)dx lim n(x)f(x)dx

n lim Ei EiEn

ni 0

i 0

LeviTh

lim n(x)f(x)dx lim

n n

E Ei

i 0

i 0

n

Ei

f(x)dx lim f(x)dx f(x)dx

n

i 0Ei

i 0Ei

n

2dx 2

i 1

i 0Ei

n 0

n 1

mEn 2 2mEn 2 2mFn 2 2nE[x|f(x) 2n]

n

n

n 0

n 0

n 0

所以，若 2kmE[x|f(x) 2k] ，则有

k 0

E[x;f(x) 1]

f(x)dx

则 f(x)dx ，故充分性成立.

E

为证必要性，注意Fk Ei,mFk mEi，令 kn {

i k

i k

n

n

n

n

n

nk

10

若k n若k n

n

，则

nk

2mE[x|f(x) 2] 2mF 2 mE 2 mE 2 mE

n

k

k

n 0

n 0

n 0

k n

n 0k n

n 0k 0

k

2k 1 1

2 mEk 2mEk mEk 2 mEk

2 1k 0n 0k 0n 0k 0n 0k 0

n

n

k

k

n

n

mEk(2

k 0

k 1

1) 2

k 0

k 1

mEk mEk 2 2mEk m( Ek)

k

k 0

k 0

k 0

2 2mEk m[E[x;f(x) 1]] 2 f(x)dx

kk 0

k 0Ek