实变函数论课后答案第五章1(17)

实变函数论课后答案

17．证明；如果f(x)是R1上的非负可测函数，则对任意实数

a,b,c,t,a b,c 0，都有

[a,b]

f(cx t)dx

1

f(x)dx c[ca t,cb t]

证明：1）若f(x) E(x)，（E为R1上任一可测集），则结论成立，这里

E(x)

1， x E

0， x E

此时而

111

f(x)dx dx m(E [ca t,cb t]) c[ca t cc,cb t][ca t,cb t]

f(cx t)dx

[a,b]

[a,b]

E(cx t)dx

[a,b] [x|cx t E]

dx m([a,b] [x|cx t E])

m([a,b] [

E t

]) c

c E t 1 E t m a,b mca,b

c c c c

11

m ca,cbE t cm ca,cb E t t c

11 m ca t,cb tE c f x dx c ca t,cb t

2）由内积的线性性质，当f(x)为简单函数时，结论也成立。 3）任取非负可测函数f(x)， 一列非负简单函数 n(x)，在R1上 n(x)单调上升地趋向于f(x)（当n ）。故从

[a,b]

n(cx t)dx

1

n(x)dx， n(cx t) f(cx t)于[a,b]上。 c[ca t,cb t]

则由Levi定理知

[a,b]

f(cx t)dx

[a,b]

n

lim n(cx t)dx lim

n

[a,b]

n(cx t)dx lim

1

n(x)dx n c[ca t,cb t]