实变函数论课后答案第五章1(14)

实变函数论课后答案

由（2）

） f(s) f(f*(t)) t （注意 f单调不增！

由t f(s)之任意性知 f(s) f(s)，所以 f(s) f(s)

*

**

即mE[x|f(x) s] m[x|f(x) s] m[t|f*(t) s]

11

a R mE[x|f(x) a] m[ E[x|f(x) a ]] limm[E[x|f(x) a ]]

n nnn 1

1

11

limm[t;f(t) a ] m[ [t;f*(t) a ]] m[t,f*(t) a] n nnn 1

*

注意：t mE时f*(t) 0，故当a 0时[t|f*(t) a] [0,mE]

m[x|f(x) a] m[t|0 t mE,f*(t) a]

当a 0时，m[x|f(x) a] mE

m[x|0 t mE,f*(t) a] m[t|0 t mE] mE.

所以有m[x|f(x) a] m[t|0 t mE,f*(t) a]. 令g(t) f*(t)即证明了本题的第一部分.

记[0,mE] I,则mI mE且mE[x|f(x) a] mI[y|g(y) a]

m[x|f(x) a] mE m[x|f(x) a] mI mI[y|g(y) a] mI[y|g(y) a]

故 b a，有

mE[x|f(x) a] mE[x|f(x) b] mE[x|b f(x) a] mI[y|b g(y) a]

14.设fn(x),n 1,2,3, 都是E的非负可测函数，fn(x) fn 1(x) ，

()mil ()fx（x E,n 1,2,3, ），fx

n

n

并且有n0使 fn(x)dx ，举例

E

说明，当

fn(x)dx恒为 时，上述结论不成立.

E

证明： f(x)dx lim fn(x)dx

E

n

E