《应用型本科线性代数及其应用》习题参考解答(14)

1223344nn

Bn ( E A)n nE n 1CnA n 2CnA n 3CnA n 4CnA n nCnA

（1）当n 3时，有

n

012233

Bn nE n 1CnA n 2CnA n 3CnA

0 0

（2）当n 2时，有

2 0

B2 2E 2 A A2

0 0

（3）当n 1时，有

0

B E A

0 0

1

01

1

n 1Cn n 2Cn2

1

n n 1Cn0 n

00

3

n 3Cn n 22

Cn

n 11 Cn n

2 12

2

00

2

0

1 2 2

00

0

0 1

1

(B E)，证明A2 A的充要条件是B2 E。 2

12122

证明：若A A，则(B 2B E) (B E)，从而B E。

42

12122

若B E，(B 2B E) (B E)，则A A。

42

10、设A、B为n阶方阵，如果A 11、设矩阵

4 1 21 A 02 ，B 34

32

求(AB)，BA和AB。 解：(AB) BA 0

T

T

T

T

TTTT

560 TT

，AB没有意义的。 85

T

12、设A、B为n阶方阵，且A为对称矩阵，证明BAB也是对称矩阵。 证明：记C BAB，则C BA(B) BAB C，故C为对称阵。 13、设A为三阶方阵，且A m，求 mA。 解： mA ( m)A mm m

3

3

4

TTTTTTT