常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答(10)

常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答

a<y≤a+ε内任一点(x0,y0)恰有方程(2.13)的一条积分曲线，它由下式确定

∫y

y

dy

=x x0. (*) f(y)

这些积分曲线彼此不相交. 其次，域R1(R2)内的所有 积分曲线∫

dydy

=x+c都可由其中一条，比如∫=x+c0 f(y)f(y)

沿着 x 轴的方向平移而得到。因此只需详细考虑经过R1内某一点

(x0,a ε)的积分曲线， 它由(*)式确定.

若

∫a ε

a

dy

收敛，即存在 x=x1 ，使得f(y)

∫a ε

a

dy

=x1 x0, f(y)

即所讨论的积分曲线当 x=x1 时达到直线y=a上点(x1,a). 由(*)式易看出， 所论积分曲线在(x1,a)处与y=a 相切，在这种情形下，经过此直线上的

( )一点就不只有一条积分曲线，与局部唯一矛盾，所以

∫a ε

a

dy

发散. f(y)

若积分

∫a ε

a

dy

发散，此时由(*)式易看出，所论的经过(x0,a ε)的积分 f(y)

曲线，不可能达到直线 y=a上，而以直线y=a为渐近线，又注意到y=a也 是(２.13)的积分曲线，所以(2.13)过(x0,a ε)的解是唯一的. 注：对于R2内某点(x0,a+ε)完全可类似地证明.

6. 作出下列微分方程积分曲线族的大致图形． (１)

．

dy=dx

y；