常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答(13)

常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答

解：p(x)=

1x 1

, ,q(x)=1+xpxdx=()ln∫2

1 xx+1

1

2

则y=e

1x 12ln

x+1

(c+∫(1+x)e

1x+12ln

x 1

dx)

=

x+1

(c+∫x2 1dx)x 1

x+1

(c+∫ x2dx)1 x

x>1

x<1

要求满足初值问题y(0)=1的解

只需求

x+1

(c+∫ x2dx)

1 x

x<1

=

x+111

(c+arcsinx+x x2) 1 x22

代入初值得c=1

所以满足初值问题的解为y=

x+111

(1+arcsinx+x x2). 1 x22

2. 将下列方程化为线性微分方程：

dyx2+y2(１)； =

dx2y

解：令y=z， 则原方程化为： (２)

2

dz

=z+x2． dx

dyy

； =2

dxx+y

dx1dxx+y2

, 即 解：由原方程得：，==x+y ．

dyydyy

(３)3xy

2

dy

+y3+x3=0； dx

3

解：令y=z， 则原方程化为：

dz1

= z x2． dxx