常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答(16)

常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答

y=ce

x

+∫f(s)e

x

(s x)

ds=∫f(s)e

∞

s x

ds+

∫

x

f(s)e

(s x)

ds=∫f(s)e(s x)ds．

∞

x

下面说明当f(x)是以ω为周期函数时，这个解也是以ω为周期的周期函数．

y(x+ω)=∫

x+ω

∞x+ω

f(s)e(s x ω)ds，令t=s ω，则 f(s)e(s x ω)ds=

y(x+ω)=∫

7. 令空间H

∞

∫

x

∞

f(t+ω)e(t x)dt=∫f(t)e(t x)dt=y(x)，

∞

x

所以此解为一周期函数．

．易知H0关于实数域,构成一个=｛f(x)｜f是以2π为周期的连续函数｝

线性空间. f∈H0，定义它的模f=max0≤x≤2πf(x)．证明H0是一个完备的空间．利用式(2.40)可以在空间H0中定义一个变换φ，它把 f变成y．试证：φ是一个从H0到H0的线性算子，而且它是有界的．

证明：(１)先证H是一个完备的空间． 设{fn(x)}是(H, )中的一个基本列. 那么 ε>0,

00

N(ε), m,n>N(ε)有

fm(x) fn(x)=max0≤x≤2πfm(x) fn(x)<ε

所以 0<x<2π，fm(x) fn(x)<ε(*)，固定x∈[0,2π]，则{fn(x)} 是基本的，从而limn→∞fn(x)存在，记为f0(x)，在 ( ) 中令m→∞， 得到f0(x) fn(x)<ε，所以fn(x)一致收敛到f0(x)，从而在H0中 fn收 敛到f0，所以定义的空间是完备的。 (２)证φ是一个线性有界算子。 ①φ(c1f1+c2f2)=

1

e2aπ 1x

11x+2π a(x s)x+2π a(x s)

=c12aπef(s)ds+cef2(s)ds 122aπ∫∫xx

e 1e 1

=c1φ(f1)+c2φ(f2) 所以φ是一个线性算子。

∫

x+2π

e a(x s)(c1f1+c2f2)(s)ds