常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答(2)

常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答

５．(t2+1)cosudu+2tsinudt=0

解：P(t,u)=(t2+1)cosu, Q(t,u)=2tsinu 则

P Q P Q

，即 原方程为恰当方程 =2tcosu,=2tcosu, 所以=

t x y x

则(t2cosudu+2tsinudt)+cosudu=0, 两边积分得：(t2+1)sinu=C.

６．(yex+2ex+y2)dx+(ex+2xy)dy=0

解： P(x,y=yex+2ex+y2,Q(x,y)=ex+2xy， 则

Q P Q P

，即 原方程为恰当方程 =ex+2y, 所以=ex+2y,=

x y y x

则2exdx+[(yex+y2)dx+(ex+2xy)dy]=0, 两边积分得：(2+y)ex+xy2=C. ７．(

y

+x2)dx+(lnx 2y)dy=0 x

y2

解：P(x,y)=+xQ(x,y)=lnx 2y,

x

P Q P1 Q1

，即 原方程为恰当方程 =, 所以=,=

yx xx y xy

dx+lnxdy)+x2dx 2ydy=0 x

则

则(

x3

两边积分得：+ylnx y2=C.

3

８．(ax2+by2)dx+cxydy=0

解：P(x,y)=ax2+by2,则

(a,b和c为常数) Q(x,y)=cxy,

Q P Q P

，即 2b=c时， 原方程为恰当方程 =cy, 所以 当=2by,=

x y y x