常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答(15)

常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答

证明：(１)设y=φ(x)是方程的任一非零解 则y=ce

∫x0p(x)dx

x

,且y=ce

∫x0p(x+w)dx

x

x+w

,也是解 e

e

∫x0p(x)dx

x

=e

∫x0p(x+w)dx

ω

x+w

,=e

∫x0p(x)dx

∫xp(x)dx

x+w

e

∫0p(x)dx

ω

=1 ∫0p(x)dx=0

(2) 方程的通解为y=ce选择常数c使y(x)成为

∫0p(x)dx

x

+

∫0q(s)e

x

p(t)dt

∫s

x

ω周期函数，即y(x+w)=y(x)(*)

我们先来证明，要使(*)对所有x成立，其实只需对某一特定 x (例如x=0)成立,即只需y(ω)=y(0).事实上，由于y(x)是方程的解， 且p(x+w)=p(x)q(x+w)=q(x)， 所以y(x+w)也是解. 因此，函数u(x)=y(x+w) y(x)是相应齐次方程y′+p(x)y=0满足 初始条件y(0)=0的解。又因为此齐次方程的解或者恒等于０，或者恒不

等于０，所以u(x)=0，从而y(w)=y(0)，由x的任意性，则有y(x+w)=y(x)。

∫p(x)dx+即ce0

w

∫0

w

w

p(t)dt

q(s)e∫0ds=c.

w

p(x)dx∫0

q(x)edx.

w

wx

所以c=

1

p(x)dx

1 e∫0

∫0

6. 连续函数f(x)在区间 ∞<x<+∞上有界，证明：方程y′+y=f(x)在区间

∞<x<+∞有并且只有一个有界解．试求出这个解．并进而证明：当f(x)还是以ω为

周期函数时，这个解也是以ω为周期的周期函数.

证明：显然方程为一阶线性微分微分方程，由一阶线性微分微分方程解的求解公式得其解表达式为：

y=ce∫0

1dx

x

+∫f(s)e∫sds

x

1dx

0x0

x

，

=ce x+∫f(s)e(s x)ds

因为f(x)有界，所以要使 y有界，当且仅当 c=从而原方程的唯一有界解为

∫

∞

f(s)eds．