常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答(9)

常微分方程教程_丁同仁(第二版)_习题解答

4. 跟踪：设某A从xoy平面上的原点出发，沿x轴正方向前进；同时某B从点开始跟踪A，即B与A永远保持等距b．试求B的光滑运动轨迹．

解：设B的运动轨迹为y=y(x),由题意及导数的几何意义，则有

dyy

，所以求B的运动轨迹即是求此微分方程满足y(0)=b的解． = 22dxb yb+b2+y21

解之得：x=bln 2 y2．

2b b2 y2

5. 设微分方程

dy

=f(y)(2.27)，其中f(y) 在y=a的某邻域(例如，区间dx

y a<ε)

内连续，而且f(y)=0 y=a，则在直线y=a上的每一点，方程(2.27)的解局部唯一，

当且仅当瑕积分

证明：( )

∫

a±ε

a

dy

=∞(发散)． f(y)

首先经过域R1： ∞<x<+∞, a ε≤y<a和域R2： ∞<x<+∞,