空间解析几何与向量代数

第七章 空间解析几何与向量代数

§7.1向量及其线性运算

7.1-1 向量概念

称只有大小的量为数量或标量，而称既有大小、又有方向的量为向量或矢量；称向量的

大小为向量的模．向量一般用一个小写的黑体字母来表示，如a , b 或 a r

，向量a 的模通常表

示为|a |或a r

．模等于1的向量称为单位向量，记作e ；模等于零的向量称为零向量，记作o 或，零向量的方向可以是任意的．向量的相等, 即a =b 意味着|a |=|b |且它们的方向相同，

即平移向量a ,b 到同一个始点后，a ,b 是重合的；a =0r

−b 意味着|a |=|b |且它们的方向相反，称−b 为b 的相反向量．

在几何上若以A ,B 分别表示一个向量a 的起点和终点，则a 也可以表示为有向线段，此时的长即表示向量a 的大小，即|a |=|AB uuu r

AB uuu r AB uuu r

|=AB .

空间向量是一个量，与其在空间的位置无关，因此像平面向量可以在平面上自由移动一样，空间向量也可以在空间中自由平移．

7.1-2 向量的线性运算

1.向量加减运算定义及性质规定两个向量的加法法则：

将两个向量a 和b 的起点移放在一起，并以a 和b 为邻边作 平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为向量a 与b 的和向 量，记为a +b ；或以向量a 的终点作为向量b 的起点，则由a 的 起点到b 的终点的向量亦是a 与b 的和向量．

1在力学中，求作用在同一质点的两个不同方向力F 1,F 2的合 力F 时，所采用的平行四边形法则或三角形法则．

推广 任意有限个向量相加．如图所示，OD 就是四个向量 a ,b ,c ,d 的和向量，即

b

a a +

b +

c +d

c

d

OD =a +b +c +d ．

在求多个向量的和向量时，采用首尾相接方法，显然要优于平行四边形法．

向量的减法a -b ，实际上是a 与b 的负向量的和，因此从减 向量终点连向被减向量终点的向量，就是差向量a -b ；或者说差 向量是以a 和b 为邻边作平行四边形的反对角线向量．

1

显然对于任何向量a 都有 a +0=a 向量的加法满足以下运算律：①交换律 a +b =b +a ；

②结合律(a +b )+c =a +(b +c )=a +b +c ．