空间解析几何与向量代数(19)

在*)式中,记D =-(Ax 0+By 0+Cz 0 ),则(*)成为

Ax +By +Cz +D =0. (**) 即过点M 0(x 0,y 0,z 0),以N =(A ,B ,C )为法向量的平面方程必定可以写成(**)的形式；反之,给定形如(**)的x ,y ,z 的线性方程，选取满足(**)的一个点M 0(x 0,y 0,z 0)代入(**)后，即可把它改写成

A (x -x 0)+

B (y -y 0)+

C (z -z 0)=0．

这表明满足(**)的点构成以N =(A ,B ,C )为法向量,过点M 0(x 0,y 0,z 0)的平面．由此可得结论：

①关于x ,y ,z 的方程F (x ,y ,z )=0表示空间平面的充要条件为F (x ,y ,z )是一个x ,y ,z 的线性式；

②一个关于x ,y ,z 的线性方程(**)所表示的平面的法向量就是(A ,B ,C )．称(**)为平面方程的一般式方程．某些特殊平面的一般方程:

在平面方程的一般式(**)中，某些系数等于0后，将表示一些特殊平面： 平面过原点 ⇔ D =0，即方程具有形式Ax +By +Cz =0；

平面平行于x 轴 ⇔ A =0, D ≠0，即方程具有形式By +Cz +D =0； 平面过x 轴 ⇔ A =0, D =0，即方程具有形式By +Cz =0；

平面平行于xOy 平面 ⇔ A =B =0, D ≠0，即方程具有形式Cz +D =0．

类似地，可讨论B =0或C =0或B =C =0或C =A =0的情况,并组合D =0,

D ≠0等多种情况下的空间平面的特征.

例3 见课本.

327P 例4 求过M 1(a ,0,0),M 2(0,b ,0),M 3(0,0,c )的平面π的方程． 解 因为M 1,M 2,M 3∈π，所以平面的法向量N 与向量12M M uuuuuu r 及13M M uuuuuu r 都垂直． 于是平面的一个法向量为12

M M uuuuuu r ×13M M uuuuuu r ，12M M uuuuuu r =(-a ,b ,0),13M M uuuuuu r

=(-a ,0,c )，从而

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N =12M M uuuuuu r ×13M M uuuuuu r =k

j i 0

0 a -b a -c a -0 a - c 0 b +− =bc i +ac j +ab k ．

所求平面方程为

bc (x -a )+ac (y -0)+ab (z -c )=0，

即c

z

b y a x ++=1．

M 1,M 2,M 3为平面π与三条坐标轴的交点，a ,b ,c 则是平面π在整个坐标轴上的截距，因此所得的方程称为平面的截距式方程．

7.5-3 两平面的位置关系

设两平面π1, π2的方程为A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0, A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0，则它们的法向量分别