空间解析几何与向量代数(21)

所以l 上与平面π的距离为3的点有两个：P 1(2, -1+

233, -2+233), P 2(2, -1-233,-2-2

33)．#例9 求两平行平面π1：3x +2y -6z -35=0和π2：3x +2y -6z -56=0间的距离．

解 取P (1,1,-5)∈π1上，点P 到平面π2的距离为

d =7

2162356

)5()6(1213222=−++−−×−+×+×）（=3． 因此平面π1和π2间的距离等于3 ．#

[作业]: 习题7-5: 1, 2, 3, 6, 7, 9.

§7.6 空间直线及其方程

7.6-1 空间直线的一般方程

由两个不平行的平面π1,π2相交得到交线l ，是生成直线的最直接方式．当π1,π2给定时，唯一的交线l 也就被确定了．

设π1,π2的方程为A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0, A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0，点M (x ,y ,z )∈l ⇔x ,y ,z 同时满足两个方程，因此直线l 的方程是 A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0,

A 2x +

B 212y +

C 2z +

D 2=0．称为直线l 的一般式方程．

7.6-2 1.直线方程的点向式

称平行于直线l 的非零向量s 为l 的方向向量．一条直线的方向向量可以有无限多个，他们互相平行．

在空间中给定一点M 0和向量s ，要求直线l 过M 0(因此直线不能移动)、且以s 为方向向量(因此平面不能转动)，那么直线l 就唯一被确定了．如果已经建立了空间直角坐标系，就可以具体描述构成直线l

的点应满足的条件，得到直线在该坐标系中的方程．

如图所示，设点M 0坐标为(x 0,y 0,z 0)，s =(A ,B ,P ),则有 点M (x ,y ,z )∈直线l ⇔0M M uuuuu u r //s ⇔0M M uuuuu u r =λs. 0M M uuuuu u r =(x -x 0,y -y 0,z -z 0)，所以点M (x ,y ,z )在直线l 上的充分必要条 件是

,000p z z n y y m x x −=−=− (*)

称方程(*)为直线的点向式方程(或对称式方程)．

直线的点向式方程与方向向量选用平行向量中的那一个无关．

[注意] 在(*)中,若分母为0，则分子也为0．例如,设以s =（m ，n ，0)为方向向量，则直

n y y m x x 00−=−, z =z 0．

例 (1). 求过点P (1,0,0)、以s =(-2,2,1)为方向向量的直线l 的方程；

线l 的方程成为 (2). 求过点P 1(1,0,1)、以s =(0,2,-1)为方向向量的直线l 1的方程．