空间解析几何与向量代数(10)

7.2-4 *向量的混合积(略)

[作业]: 习题7-2: 1, 2, 7, 9.

§7.3 曲面及其方程

7.3-1 曲面方程的概念

球面，是空间中到定点M 0(球心)的距离为常数R (半径)的动点M 的轨迹Σ.若已经建立了空间直角坐标系O-xyz ，M 0的坐标为(x 0,y 0,z 0)，动点M 的坐标为(x ,y ,z )，则据空间两点距离公式，有

M (x ,y ,x )∈∑ ⇔ (x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2 , (*)

或 Σ={(x ,y ,x )|(x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2}．

(*)式称为是球面∑在给定坐标系中的方程，简称球面方程．特别地，当定点M 0是原点时，球面方程是 x 2+y 2+z 2=R 2．

一般空间曲面也是满足某约束条件的点的轨迹Σ．在建立了坐标系后，以M (x ,y ,z )表示动点,以

F (x ,y ,z )=0 (1)

表示构成Σ的约束条件，则称x ,y ,z 的三元方程(1)为曲面∑ O • x M 0 • R

M 的方程.在坐标系中描出满足(1)的点，得到的就是曲面Σ的图 象．例如,描出满足(*)的点，得到的是图中所示的球面． 空间解析几何对曲面的研究主要有以下两个方面： (1)据已给定的条件，求动点的轨迹，即建立曲面的方程； (2)已知曲面的方程，研究曲面的形状和几何性质．

1.球面的一般方程

例 方程x 2+y 2+z 2-4x +2z =0表示怎样的曲面？解 通过配方，把原方程写成(x -2)2+y 2+(z +1)2=5，由(9-35)可知该方程表示球心为

(2,0,-1）、半径为5 的球面． #

推广例到一般情况，方程

A (x 2+y 2+z 2)+Dx +Ey +Fz +G=0 (2)

总可以通过配方成为(x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=H 的形式，

如果H >0，则满足(2)的点表示球面，因此称(2)为球面的一般方程．

10例2-3见课本.

311312P −Γ 7.3-2．旋转曲面

(1)旋转曲面的一般定义.

Σ L

若动点在曲线Γ上移动，同时曲线Γ又绕定直线L 旋转

(简称曲线Γ绕一条定直线L 旋转一周)，称这样的动点所形

成的轨迹Σ为旋转曲面．称曲线Γ为旋转曲面的母线，称定

直线L 为旋转曲面的轴．