空间解析几何与向量代数(4)

量OM 的坐标分解式, 其中uuuu r ,,xi y j zk r r r

称为向量OM uuuu r 沿三个坐标轴方向的分向量.

反之, 设在空间中已建立了直角坐标系O -xyz ，把已知

向量a 的起点移到原点O 时，其终点在M ，即a =OM ． 称OM 为向径（或矢径），通常记作r ；称点M 的坐标 (x ,y ,z )为a 的坐标，记作a =(x ,y ,z )，即向量a 的坐标 就是与其相等的向径的终点坐标．这样在建立了直角坐标系空间中，向量、向径、坐标之间就有一一对应的关系． 若a =(x ,y ,z )，则

|a |=2

22z y x ++ 例3 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的过顶点A 的三条棱长AB =a ,AD =b ,AA 1=c ，直角坐标系O -xyz 的x ,y ,z 轴依次平行于AB ,AD ,AA 1．求以A 和B 为始点的各对角线向量的坐标．

解 如图所示，以A 为始点的对角线向量有1AB ,,1AD ,1AC ．1AB 对应的向径为

2OB ，2OB =(a ,0,c )，所以1AB =(a ,0,c )；

AC 对应的向径为2OC ，2OC =(a ,b ,0)，所以AC =(a ,b ,0)；

同理可得1AD =(0,b ,c ), 1AC =(a ,b ,c )．

以B 为始点的对角线向量有1BA ,BD ,1BD ,1BC ．

1BA 对应的向径为2OA ， 2OA =(-a ,0,c )，所以1BA =(-a ,0,c )； 同理可得BD =(-a ,b ,0), 1BD =(-a , b , c ), 1BC =1AD = (0,b ,c )．#

把向量a 的始点移到点M 时，终点在N ．若已知点

M ,N 的坐标为(x 1,y 1,z 1), (x 2,y 2,z 2)，则a =MN 对应向径

OP 的终点P 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1,z 2-z 1)，所以 a =(x 2-x 1,y 2-y 1,z 2-z 1)

即向量坐标为终点坐标减去对应始点坐标．根据公式，立即得到空间两点距离公式：若M (x 1,y 1,z 1),N (x 2,y 2,z 2)，则

|MN | =2

12212212)()()(z z y y x x −+−+−例4 已知向量a =AB =(-3,0,1)始点A 的坐标为(-3,1,4)，求终点B 的坐标．

解 设B =(x ,y ,z )，则 =(x +3,y -1,z -4)=(-3,0,1)，所以x =-6,y =1,z =5，即B =(-6,1,5)．# 例5 求点M (x , y , z )到三条坐标轴的距离．

解 设点M (x , y , z )在x 轴上的投影为点P ，则点P 为P (x ,0,0)，且线段MP 的长就是点M 到x 轴的距离．由公式得

|MP |=

()222

22)0()0(z y z y x x +=−+−+−．

同理可得，点M 到y 轴, z 轴的距离分别为

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