空间解析几何与向量代数(11)

例 (1)求xOy 平面上的直线Γ：x =R 绕y 轴旋转所得的旋转面Σ的方程； (2)求xOy 平面上的圆Γ：x 2+y 2=R 2绕y 轴旋转所得的旋转面Σ的方程． 解 (1)点M (x ,y ,z )∈Σ ⇔ M 是由Γ上点

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M 0(R ,y 1,0)通过Γ绕y 旋转得到．设P 为M , M 0 在旋转轴y 轴上的投影，则p （0，y ，0）

M (x ,y ,z )∈Σ ⇔ R=|PM 0|=|PM |=22z x +．

x

• M 0R

•

• P • O

M 所以Σ 的方程为x 2

+z 2

=R 2

．

(2)点M (x ,y ,z )∈Σ ⇔ M 是由Γ上点M 0(x 0,y 0,0)通过Γ旋转 得到 ⇔ 在M ,M 0的坐标之间存在如下关系：

设P 为M 0,M 在旋转轴y 轴上的投影，则p （0，y ，0）

所以 |x 0|=|PM 0|=|PM |=22z x +(．因为M 0∈Γ，=R 2

20y x +2

， x z

O

•

M P

M 0

于是 M (x ,y ,z )∈Σ ⇔ (22z x +)2+y 2=R 2，即x 2+y 2+z 2=R 2． 所以Σ的方程为x 2+y 2+z 2=R 2．#

(2)一类特殊旋转曲面的方程

把例作推广，考虑如下特殊情况：以xOy 坐标面上的曲 线f (x ,y )=0为母线Γ，绕y 轴旋转，得到旋转面Σ，求Σ的方程． 如图所示(旋转面Σ在第一卦限部分)，

点M (x ,y ,z )∈Σ ⇔ M 是由Γ上点M 0(x 0,y 0,0)通过Γ旋转得到

⇔ 在M ,M 0的坐标之间存在如下关系： 设P 为M 0,M 在在旋转轴y 轴上的投影，则

|x 0|=|PM 0|=|PM |=2

2

z x +,

因为M 0∈Γ，f (x 0,y 0)=0，于是M (x ,y ,z )∈Σ ⇔ f (±22z x +,y )=0． 所以Σ的方程为f (±22z x +,y )=0．

由推导过程可见，旋转面Σ的三元方程可以直接从母线二元方程得到．其规律是：母线

方程中旋转轴坐标y 不变，非旋转轴坐标x 变为除旋转轴坐标外另外两个坐标x ,z 平方和的正负方根，所得者即为Σ的方程．

考虑用如下一类特殊的旋转面Σ：母线Γ在某坐标平面，旋转轴是该坐标面两根轴之一，通过类似的推导，Σ的方程都可从母线方程按上述相同的规律得到．具体结果如下表所列：

z 轴

f (±22y x +,z )=0

f (±22y x +,z )=0

Γ

•

z

Γ： x

M 0

y =•

• M

P •