空间解析几何与向量代数(6)

非零向量a ,b 的夹角公式：

(,)a b r r

(,)a b r r

=arccos |

|||b a b

a ⋅若已知向量a =a x i +a y j +a z k ,

b =b x i +b y j +b z k ，则

=arccos

(,)a b r r

222222z

y

x

z

y

x

z z y y x x b

b b a a a b a b a b a ++⋅++++．

2.向量的方向余弦的坐标表示

非零向量a 与三条坐标轴的夹角α, β, γ称为向量a 的方向角，

方向角的余弦cos α, cos β, cos γ称为向量a 的方向余弦． 6

如图所示，设向量a =(a x ,a y ,a z )，把a 的起点移到坐标

原点O ，设它的终点为Ａ，则向量a 与三条坐标轴的夹角即为向 量OA 与三个坐标基向量i , j , k 的夹角．所以

k

a z

cos α=||||i a i a ⋅⋅=

222z y x x

a a a a ++, cos β=||||j a j a ⋅⋅=222z

y x y

a a a a ++,

cos γ=||||k a k a ⋅⋅=

222z

y x z

a a a a ++，即为向量的方向余弦的坐标表示式．比照向量单位化公式，可以发现，实际上向量a 的方向

余弦就是a 的单位化向量e a 的坐标，因此任何向量的方向余弦必定满足关系式

．

1cos cos cos 222=++γβα例7-8 见课本.

299P 向量在轴上的投影: 定义(略), 非零向量a 与三条坐标轴的夹角为α, β, γ , 则分别在三

条坐标轴的投影为 ()cos ,()cos ,()cos x

y z a a a a a a αβγ===r r r r r r .记作 Prj u a r

.

投影的性质: 见课本.300P 例9 见课本.

300P [作业]: 习题7-1: 4, 6, 13, 15, 19.

§7.2数量积 向量积 *混合积

7.2-1 两向量的数量积

1．向量的数量积的概念

F 设有一个物体在常力F 的作用下沿直线运动，产生了位移S 力F 可以分解成在位移方向的投影F 1和垂直于位移方向的投影F 2两部分，仅F 1对位移作功．记θ为F 与S 的夹角，则力F 对位移 作功为