高考数学_冲刺必考专题解析_数学开放性问题问题

数学开放性问题怎么解

数学开放性问题是近年来高考命题的一个新方向,其解法灵活且具有一定的探索性,这类题型按解题目标的操作模式分为:规律探索型,问题探究型,数学建模型,操作设计型,情景研究型.如果未知的是解题假设,那么就称为条件开放题;如果未知的是解题目标,那么就称为结论开放题;如果未知的是解题推理,那么就称为策略开放题.当然,作为数学高考题中的开放题其“开放度”是较弱的,如何解答这类问题,还是通过若干范例加以讲解.

例 1 设等比数列 an 的公比为 q ，前 n项和为 Sn，是否存在常数 c，使数列 Sn c 也成等比数列？若存在，求出常数c；若不存在，请 明 理 由.

讲解 存在型开放题的求解一般是从假设存在入手, 逐步深化解题进程的. 设存在常数c， 使数列 Sn c 成等比数列.

(Sn c)(Sn 2 c) (Sn 1 c)2

Sn Sn 2 S2n 1 c(2Sn 1 Sn Sn 2

(i) 当 q 1 时，Sn na1 代入上式得

a1n(n 2) a1 n 1 ca1 (a(n 1) n (n 2) 即a1=0

2

2

2

2

但a1 0, 于是不存在常数c ，使 Sn c 成等比数列.

a(1 qn) (ii) 当 q 1时，Sn ， 代 入 上 式 得

1 q

a1qnca1qna122 . (1 q) (1 q), c

(1 q)q 1(1 q)2

a1

，使 Sn c 成等比数列. q 1

2

综 上 可 知 , 存 在 常 数 c