高考数学_冲刺必考专题解析_数学开放性问题问题(10)

∴ 点P的轨迹是以A、B为焦点，焦距为4，实轴长为2的双曲线的右准线的右支，

y211 1 （x ≥1）其方程为 x ．若a , 则l的方程x 为双曲线的右准线, ∴

223

2

点P到点B的距离与到l的距离之比为双曲线的离心率e = 2.

(2)若直线PQ的斜率存在，设斜率为k，则直线PQ的方程为y = k ( x－2 )代入双曲线方程, 得

3 k x

2

2

4k2x 4k2 3 0

0

4k2

由 x1 x2 0， 解得k2＞３． 2

3 k

4k2 3

0 x1x2 2

3 k

6(k2 1)24

6 6． ∴ ｜PQ｜＝ k|x1 x2|

k2 3k2 3

2

当直线的斜率存在时，x1 x2 2，得y1 3,y2 3，｜PQ|＝６． ∴ ｜PQ|的最小值为６．

（3）当PQ⊥QC时，P、C、Q构成Rt△. ∴ R到直线l的距离｜RC|＝

|PQ|

xR a ① 2

2

y2

1上， 又 ∵ 点P、Q都在双曲线x 3

∴

|PB||QB|

2． 11xP xQ

22

∴

|PB| |QB|

2，即 |PQ| 4xR 2．

xP xQ 1

∴ xR |PQ| 2 ②

4将②代入①得

|PQ||PQ| 2

a，｜PQ｜＝２－４a≥6． 24

故有ａ≤－１．

“如果存在”并不意味着一定存在, 如何修改本题使其成为不存在的范例呢? 问题的提出既能延伸我们的思绪, 更能完善我们的知识技能, 无形中使解题能力得到逐渐的提升.