高考数学_冲刺必考专题解析_数学开放性问题问题(8)

f( x) f( 1 x) f(x) xf( 1) f(x), 故f(x)为奇函数.

（2） 从规律中进行探究,进而提出猜想. 由 f(a2) af(a) af(a) 2af(a), f(a3) a2f(a) af(a2) 3a2f(a), 猜测 f(an) nan 1f(a). 于是我们很易想到用数学归纳法证明.

1° 当n=1时，f(a1) 1 a0 f(a)，公式成立；

2°假设当n=k时，f(ak) kak 1f(a)成立，那么当n=k+1时，

f(ak 1) akf(a) af(ak) akf(a) kakf(a) (k 1)akf(a)，公式仍然成立.

综上可知，对任意n N,f(an) nan 1f(a)成立.

n

从而 un f(2) (1)n 1 f(1).

n22

111

f(2) 2,f(1) f(2 ) 2f() f(2) 0,

222

11n 1111

f() f(2) ，un ( ) ()(n N),.

22242

11

[1 ()n]

1 故 Sn ()n 1(n N).

121 2

例9 若a1 0、a1 1，an 1 (1)求证：an 1 an； (2)令a1

1，写出a2、a3、a4、a5的值，观察并归纳出这个数列的通项公式an； 2

2an

(n 1,2, ，)

1 an

(3)证明：存在不等于零的常数p，使{

an p

是等比数列，并求出公比q的值. an

2an

an, 解得 an 0，1.

1 an

讲解 (1)采用反证法. 若an 1 an，即

从而an an 1 a2 a1 0,1与题设a1 0,a1 1相矛盾，