高考数学_冲刺必考专题解析_数学开放性问题问题(6)

（2）由anbn

291

(n )2 31,当n 2时,(anbn)max a2b2 31.2（万只）， 544

第二年的养鸡规模最大，共养鸡31.2万只.

有时候我们需要画出图形, 有时候我们却需要从图形中采集必要的信息, 这正反映了一个事物的两个方面. 看来, 读图与识图的能力是需要不断提升的.

例7 已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l:x 1相切，点C在l上. （1）求动圆圆心的轨迹M的方程；

（2）设过点P，且斜率为－3的直线与曲线M相交于A，B两点.

（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由； （ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.

讲解 本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，是解析几何中的存在性问题.

（1）由曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，知曲线M的方程为y2 4x. y (x 1),

（2）（i）由题意得，直线AB的方程为y 3(x 1),由 消y得 2

y 4x,

1

3x2 10x 3 0,解出x1 ,x2 3.

3

123

于是, A点和B点的坐标分别为A(,，|AB| x1 x2 2 16. )，B（3， 2）

333

假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|， 即有

162 22

(3 1) (y 2) ()① 3

(1 1)2 (y 2)2 (16)2

② 3 3

y2 4x

23

3

由①－②得42 (y 2)2 (4)2 (y 23)2,

3

3

解得y

. 9

23

因为y 3不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.

9

(3， 2)

故知直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形. （ii）设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，

y (x 1),由 得y 2. x 1,

即当点C的坐标是（－1，2）时，三点A，B，C共线，故y 2. |AC|2 ( 1 1)2 (y 2)2 28 4y y2，

3393