高考数学_冲刺必考专题解析_数学开放性问题问题(2)

等比数列n项求和公式中公比的分类, 极易忘记公比q 1的 情 形, 可 不 要 忽 视 啊 !

例2 某机床厂今年年初用98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加4万元，该机床使用后，每年的总收入为50万元，设使用x年后数控机床的盈利额为y万元.

（1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； (3 ) 使用若干年后，对机床的处理方案有两种：

(i )当年平均盈利额达到最大值时，以30万元价格处理该机床；

(ii )当盈利额达到最大值时，以12万元价格处理该机床，问用哪种方案处理较为合算？请说明你的理由.

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讲解 本例兼顾应用性和开放性, 是实际工作中经常遇到的问题. （1）y 50x [12x

2

x(x 1)

4] 98 2

= 2x 40x 98. （2）解不等式 2x 40x 98＞0, 得 10 ＜x＜10 .

∵ x∈N， ∴ 3 ≤x≤ 17. 故从第3年工厂开始盈利.

2

y9898 2x 40 40 (2x ）≤40 22 98 12 xxx98

当且仅当2x 时，即x=7时，等号成立.

x

（3）(i) ∵

∴ 到2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利12×7+30=114万元.

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(ii) y=-2x+40x-98= -2（x-10） +102， 当x=10时，ymax=102.

故到2011年，盈利额达到最大值，工厂共获利102+12=114万元. 解答函数型最优化实际应用题，二、三元均值不等式是常用的工具. 例3 已知函数f(x)=

-1

1x 4

2

(x<-2)

(1)求f(x)的反函数f(x); (2)设a1=1,

1an 1

2

=-f(an)(n∈N),求an;

-1

(3)设Sn=a1+a2+ +an,bn=Sn+1-Sn是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N,有bn<立？若存在，求出m的值；若不存在说明理由.

讲解 本例是函数与数列综合的存在性问题, 具有一定的典型性和探索性.

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m成25