高数答案下册(12)

第七节 高阶线性微分方程

1. 验证y1 ex及y2 xex都是方程y 4xy 4x2 2 y 0的解，写出该方程的

2

2

通解.

222

解：y1 2xex，y1 2ex 4x2ex

y2 ex 2xexy2 2xex 4xex 4x3ex

22222

6xex 4x3exy1 4xy1 4x2 2 y1

2

2

2ex 4x2ex 4xex 4x2 2 ex 0

2

2

2

2

y1是方程的解.

同理可证y2也是原方程的解.且所以方程的通解为

y C1ex C2xex C1 C2x ex

2

2

2

y2xe

x2 常数.故与是线性的. y1e

x2

1x22

2. 验证y1 x，y2 是方程xy 3xy 5y 0的解，y3 lnx是方程

x9

3

x2y 3xy 5y x2lnx的解，写出微分方程的x2y 3xy 5y x2lnx通解. 解：y1 x3，y1 5x4，y1 20x3

y2

1

，y1 10x 2，y1 2x 3 x

x2 y1 3xy1 5y1 x2 20x3 3x 5x4 5 x5 0故y1为齐次方程的解.

1

同理x2 y2 3xy2 5y2 x2 2x 3 3x x 2 5 0故y2为齐次方程的解.

x

y1

x6 常数y1与y2线性无关 y2

y3是非齐次方程的一个特解.所以非齐次方程的通解为

1x2

y C1y1 C2y2 y3 C1x C2 lnx C1,C2为任意常数

x9

5